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欧氏几何
一、欧氏几何的建立
欧氏几何是欧几里德几何学的简称，其创始人是公元前三世纪的古希腊伟大数学家欧几里德。在他以前，古希腊人已经积累了大量的几何知识，并开始用逻辑推理的方法去证明一些几何命题的结论。欧几里德这位伟大的几何建筑师在前人準备的「木石砖瓦」材料的基础上，天才般地按照逻辑系统把几何命题整理起来，建成了一座巍峨的几何大厦，完成了数学史上的光辉着作《几何原本》。
这本书的问世，标誌着欧氏几何学的建立。这部科学着作是发行最广而且使用时间最长的书。后又被译成多种文字，共有二千多种版本。
它的问世是整个数学发展史上意义极其深远的大事，也是整个人类文明史上的里程碑。两千多年来，这部着作在几何教学中一直佔据着统治地位，至今其地位也没有被动摇，包括我国在内的许多国家仍以它为基础作为几何教材。
二、一座不朽的丰碑
欧几里德将早期许多没有联络和未予严谨证明的定理加以整理，写下《几何原本》一书，使几何学变成为一座建立在逻辑推理基础上的不朽丰碑。这部划时代的着作共分13卷，465个命题。其中有八卷讲述几何学，包含了现在中学所学的平面几何和立体几何的内容。
但《几何原本》的意义却绝不限于其内容的重要，或者其对定理出色的证明。真正重要的是欧几里德在书中创造的一种被称为公理化的方法。
在证明几何命题时，每一个命题总是从再前一个命题推汇出来的，而前一个命题又是从再前一个命题推汇出来的。我们不能这样无限地推导下去，应有一些命题作为起点。这些作为论证起点，具有自明性并被公认下来的命题称为公理，如同学们所学的「两点确定一条直线」等即是。
同样对于概念来讲也有些不加定义的原始概念，如点、线等。在一个数学理论系统中，我们儘可能少地先取原始概念和不加证明的若干公理，以此为出发点，利用纯逻辑推理的方法，把该系统建立成一个演绎系统，这样的方法就是公理化方法。欧几里德採用的正是这种方法。
他先摆出公理、公设、定义，然后有条不紊地由简单到複杂地证明一系列命题。他以公理、公设、定义为要素，作为已知，先证明了第一个命题。然后又以此为基础，来证明第二个命题，如此下去，证明了大量的命题。
其论证之精彩，逻辑之周密，结构之严谨，令人歎为观止。零散的数学理论被他成功地编织为一个从基本假定到最複杂结论的系统。因而在数学发展史上，欧几里德被认为是成功而系统地应用公理化方法的第一人，他的工作被公认为是最早用公理法建立起演绎的数学体系的典範。
正是从这层意义上，欧几里德的《几何原本》对数学的发展起到了巨大而深远的影响，在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑。
三、欧氏几何的完善
公理化方法已经几乎渗透于数学的每一个领域，对数学的发展产生了不可估量的影响，公理化结构已成为现代数学的主要特徵。而作为完成公理化结构的最早典範的《几何原本》，用现代的标準来衡量，在逻辑的严谨性上还存在着不少缺点。如一个公理系统都有若干原始概念(或称不定义概念)，如点、线、面就属于这一类。
欧几里德对这些都做了定义，但定义本身含混不清。另外，其公理系统也不完备，许多证明不得不藉助于直观来完成。此外，个别公理不是独立的，即可以由其他公理推出。
这些缺陷直到2023年德国数学家希尔伯特的在其《几何基础》出版时得到了完善。在这部名着中，希尔伯特成功地建立了欧几里德几何的完整、严谨的公理体系，即所谓的希尔伯特公理体系。这一体系的建立使欧氏几何成为一个逻辑结构非常完善而严谨的几何体系。
也标誌着欧氏几何完善工作的终结。
非欧几何学是一门大的数学分支，一般来讲 ，他有广义、狭义、通常意义这三个方面的不同含义。所谓广义式泛指一切和欧几里的几何学不同的几何学，狭义的非欧几何只是指罗氏几何来说的，至于通常意义的非欧几何，就是指罗氏几何和黎曼几何这两种几何。
欧几里得的《几何原本》提出了五条公设，长期以来，数学家们发现第五公设和前四个公设比较起来，显得文字叙述冗长，而且也不那么显而易见。
有些数学家还注意到欧几里得在《几何原本》一书中直到第二十九个命题中才用到，而且以后再也没有使用。也就是说，在《几何原本》中可以不依靠第五公设而推出前二十八个命题。
因此，一些数学家提出，第五公设能不能不作为公设，而作为定理？能不能依靠前四个公设来证明第五公设？这就是几何发展史上最着名的，争论了长达两千多年的关于「平行线理论」的讨论。
由于证明第五公设的问题始终得不到解决，人们逐渐怀疑证明的路子走的对不对？第五公设到底能不能证明？
到了十九世纪二十年代，**喀山大学教授罗巴切夫斯基在证明第五公设的过程中，他走了另一条路子。他提出了一个和欧式平行公理相矛盾的命题,用它来代替第五公设，然后与欧式几何的前四个公设结合成一个公理系统，一系列的推理。他认为如果这个系统为基础的推理中出现矛盾，就等于证明了第五公设。
我们知道，这其实就是数学中的反证法。
但是，在他极为细緻深入的推理过程中，得出了一个又一个在直觉上匪夷所思，但在逻辑上毫无矛盾的命题。最后，罗巴切夫斯基得出两个重要的结论：
第一，第五公设不能被证明。
第二，在新的公理体系中的一连串推理，得到了一系列在逻辑上无矛盾的新的定理，并形成了新的理论。这个理论像欧式几何一样是完善的、严密的几何学。
这种几何学被称为罗巴切夫斯基几何，简称罗氏几何。这是第一个被提出的非欧几何学。
从罗巴切夫斯基创立的非欧几何学中，可以得出一个极为重要的、具有普遍意义的结论：逻辑上互不矛盾的一组假设都有可能提供一种几何学。
几乎在罗巴切夫斯基创立非欧几何学的同时，匈牙利数学家鲍耶·雅诺什也发现了第五公设不可证明和非欧几何学的存在。鲍耶在研究非欧几何学的过程中也遭到了家庭、社会的冷漠对待。他的父亲——数学家鲍耶·法尔卡什认为研究第五公设是耗费精力劳而无功的蠢事，劝他放弃这种研究。
但鲍耶·雅诺什坚持为发展新的几何学而辛勤工作。终于在2023年，在他的父亲的一本着作里，以附录的形式发表了研究结果。
那个时代被誉为「数学王子」的高斯也发现第五公设不能证明，并且研究了非欧几何。但是高斯害怕这种理论会遭到当时教会力量的打击和**，不敢公开发表自己的研究成果，只是在书信中向自己的朋友表示了自己的看法，也不敢站出来公开支援罗巴切夫斯基、鲍耶他们的新理论。
什么是欧氏几何?
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欧氏几何
欧氏几何的建立
欧氏几何是欧几里德几何学的简称，其创始人是公元前三世纪的古希腊伟大数学家欧几里德。在他以前，古希腊人已经积累了大量的几何知识，并开始用逻辑推理的方法去证明一些几何命题的结论。欧几里德这位伟大的几何建筑师在前人準备的「木石砖瓦」材料的基础上，天才般地按照逻辑系统把几何命题整理起来，建成了一座巍峨的几何大厦，完成了数学史上的光辉着作《几何原本》。
这本书的问世，标誌着欧氏几何学的建立。这部科学着作是发行最广而且使用时间最长的书。后又被译成多种文字，共有二千多种版本。
它的问世是整个数学发展史上意义极其深远的大事，也是整个人类文明史上的里程碑。两千多年来，这部着作在几何教学中一直佔据着统治地位，至今其地位也没有被动摇，包括我国在内的许多国家仍以它为基础作为几何教材。
一座不朽的丰碑
欧几里德将早期许多没有联络和未予严谨证明的定理加以整理，写下《几何原本》一书，使几何学变成为一座建立在逻辑推理基础上的不朽丰碑。这部划时代的着作共分13卷，465个命题。其中有八卷讲述几何学，包含了现在中学所学的平面几何和立体几何的内容。
但《几何原本》的意义却绝不限于其内容的重要，或者其对定理出色的证明。真正重要的是欧几里德在书中创造的一种被称为公理化的方法。
在证明几何命题时，每一个命题总是从再前一个命题推汇出来的，而前一个命题又是从再前一个命题推汇出来的。我们不能这样无限地推导下去，应有一些命题作为起点。这些作为论证起点，具有自明性并被公认下来的命题称为公理，如同学们所学的「两点确定一条直线」等即是。
同样对于概念来讲也有些不加定义的原始概念，如点、线等。在一个数学理论系统中，我们儘可能少地先取原始概念和不加证明的若干公理，以此为出发点，利用纯逻辑推理的方法，把该系统建立成一个演绎系统，这样的方法就是公理化方法。欧几里德採用的正是这种方法。
他先摆出公理、公设、定义，然后有条不紊地由简单到複杂地证明一系列命题。他以公理、公设、定义为要素，作为已知，先证明了第一个命题。然后又以此为基础，来证明第二个命题，如此下去，证明了大量的命题。
其论证之精彩，逻辑之周密，结构之严谨，令人歎为观止。零散的数学理论被他成功地编织为一个从基本假定到最複杂结论的系统。因而在数学发展史上，欧几里德被认为是成功而系统地应用公理化方法的第一人，他的工作被公认为是最早用公理法建立起演绎的数学体系的典範。
正是从这层意义上，欧几里德的《几何原本》对数学的发展起到了巨大而深远的影响，在数学发展史上树立了一座不朽的丰碑。
欧氏几何的完善
公理化方法已经几乎渗透于数学的每一个领域，对数学的发展产生了不可估量的影响，公理化结构已成为现代数学的主要特徵。而作为完成公理化结构的最早典範的《几何原本》，用现代的标準来衡量，在逻辑的严谨性上还存在着不少缺点。如一个公理系统都有若干原始概念(或称不定义概念)，如点、线、面就属于这一类。
欧几里德对这些都做了定义，但定义本身含混不清。另外，其公理系统也不完备，许多证明不得不藉助于直观来完成。此外，个别公理不是独立的，即可以由其他公理推出。
这些缺陷直到2023年德国数学家希尔伯特的在其《几何基础》出版时得到了完善。在这部名着中，希尔伯特成功地建立了欧几里德几何的完整、严谨的公理体系，即所谓的希尔伯特公理体系。这一体系的建立使欧氏几何成为一个逻辑结构非常完善而严谨的几何体系。
也标誌着欧氏几何完善工作的终结。
欧式几何的意义
由于欧式几何具有鲜明的直观性和有着严密的逻辑演绎方法相结合的特点，在长期的实践中表明，它巳成为培养、提高青、少年逻辑思维能力的好教材。历史上不知有多少科学家从学习几何中得到益处，从而作出了伟大的贡献。
少年时代的牛顿在剑桥大学附近的夜店里买了一本《几何原本》，开始他认为这本书的内容没有超出常识範围，因而并没有认真地去读它，而对笛卡儿的「座标几何」很感兴趣而专心攻读。后来，牛顿于2023年4月在参加特列台奖学金考试的时候遭到落选，当时的考官巴罗博士对他说：「因为你的几何基础知识太贫乏，无论怎样用功也是不行的。
」这席谈话对牛顿的震动很大。于是，牛顿又重新把《几何原本》从头到尾地反覆进行了深入钻研，为以后的科学工作打下了坚实的数学基础。
近代物理学的科学巨星爱因斯坦也是精通几何学，并且应用几何学的思想方法，开创自己研究工作的一位科学家。爱因斯坦在回忆自己曾走过的道路时，特别提到在十二岁的时候「几何学的这种明晰性和可靠性给我留下了一种难以形容的印象」。后来，几何学的思想方法对他的研究工作确实有很大的启示。
他多次提出在物理学研究工作中也应当在逻辑上从少数几个所谓公理的基本假定开始。在狭义相对论中，爱因斯坦就是运用这种思想方法，把整个理论建立在两条公理上：相对原理和光速不变原理。
在几何学发展的历史中，欧几里得的《几何原本》起了重大的历史作用。这种作用归结到一点，就是提出了几何学的「根据」和它的逻辑结构的问题。在他写的《几何原本》中，就是用逻辑的链子由此及彼的几何学，这项工作，前人未曾作到。
但是，在人类认识的长河中，无论怎样高明的前辈和名家，都不可能把问题全部解决。由于历史条件的限制，欧几里得在《几何原本》中提出几何学的「根据」问题并没有得到彻底的解决，他的理论体系并不是完美无缺的。比如，对直线的定义实际上是用一个未知的定义来解释另一个未知的定义，这样的定义不可能在逻辑推理中起什么作用。
又如，欧几里得在逻辑推理中使用了「连续」的概念，但是在《几何原本》中从未提到过这个概念。
简单地bai说，欧氏几何是最 du普通的，也就是可以为常 zhi人所理解的几何。在dao这个体系中，版过直线权外的一点，可以作，仅可作一根直线与之平行。罗氏空间里，平行线定理可以写作 过直线外的一点，可以作无数直线与之平行。在黎曼几何学中不承认平行线的存在 黎曼几何是研究什么空间的几何问题的 罗氏几...
目前公认的有三种几何体系 欧氏几何 罗巴切夫斯机 鲍耶几何 黎曼几何，这三种几何唯一的不同点就在于第五公设的不同。欧氏几何第五公设是指过直线外一点有且仅有一条直线与已知直线平行。而罗氏几何则不同，它规定了过直线外一点有无数条直线与已知直线平行。这样三角形的内角和也就小于180度。黎曼从更高的角度统一...
仰角就是高于水平线的角度，俯角就是低于水平线的角度，换而言之，仰角就是往上看，俯角就是往下看。仰角是网上看 当观察者抬头望一物件时，其视线与水平线的夹角称为仰角。俯角是向下看 当观察者低头望一物件时，其视线与水平线的夹角称为俯角。几何，就是研究空间结构及性质的一门学科。它是数学中最基本的研究内容之一...
