西域牛仔王的回答：
收敛到时，ε 是任意正数，通常认为是无穷小，
不收敛到时，ε 仅仅是一个正的常数而已，就是一个正数，可大可小。
极限定义中 ε是啥意思？
热心网友的回答：
答：（1）数列的极限：
设有数列：x1,x2,x3,...,xn,...
(1)如果对于每一个预先给定的任意小的正数ε，总存在着一个正整数n，使得对于n>n时的一切xn,不等式│xn-a│<ε能成立，则常数a就叫做数列（1）当n→∞时的极限，或者说数列（1）收敛于a，并记作n→∞limxn=a.
（2）函式在x→xo时的极限
如果对于每一个预先给定的任意小的正数ε，总存在着一个正数δ，使得对于适合不等式0<│x-xo│<δ的一切x，所对应的函式值f（x）都满足不等式 │f(x)-a│<ε,则常数a就叫做函式y=f(x)当x→xo时的极限，记作x→xolimf(x)
=a.后面还有x→∞时函式的极限，就不说了。
数列极限定义中，ε的取值
思念那条鱼的回答：
这样理解不全面。因为表达无限接近，不能用一个确定的数。要理解这个问题，关键是理解ε的实质。
（1）：ε具有任意性，因为既然表达任意接近，那么ε可以任意取正值，惟其可以任意取值，才可準确表达极限定义中「无限接近」的含义。但为了突出「无限接近」通常取0<ε<1，这是因为，多说人对用0<ε<1表示无限接近，心理上比较容易认可，便于接受；再者，既然0<ε<1时成立，毫无疑问，ε>=1时也成立。
（2）ε具有确定性，一旦取定了某个ε的值，就把它暂时看做确定的，以便由它确定相应的⊿(应为小写希腊字母德尔塔）。
至于你说的「如果ε取大于1的数，不能表达无限接近的意思」，这个问题本身就值得商榷，因为，证明函式的极限是某个常数时，不能把ε取定为某个具体的正数，不管它大于0小于1，还是大于等于1，只要取定一个具体数，就是不允许的，也是错误的。但如果是证明某个常数不是某个函式的极限，却可以取定一个具体正数ε（比如，取ε=1/2，1/3,甚至ε=2，3……也未尝不可）。
既然你没有把它当成一个具体数，那么根据你的需要，你可以作任何假设，因为它可以代表任意的正数。
ε-δ，函式极限的定义的ε-δ语言中，为什么ε的值会制约δ的值？
热心网友的回答：
解答：这个很好理解，
因为ε的值是主动的，
而δ的值是被动的，受ε的值所决定，
当然是δ会受ε值的影响。
不是δ来决定ε。
热心网友的回答：
这是因为极限的定义就是f（x）-a要多小就有多小，意思就是随便你任取一个数ε，都存在对应的去心邻域，使得在这个去心邻域里面，f（x）-a<ε。而如果按照你的方式来的话，就反了，
热心网友的回答：
因为y是因x的变化而变化的ε是x得範围δ是y的範围，所以δ会受ε值的影响
极限定义中的ε必须是任意大于0吗？
的回答：
在极限定义中，与ε比较的是绝对值，所以，ε必须大于0，极限的意义是无限趋近，所以，ε是任意大于0，而不是一个特定的区间。在特定区间里求出的是极值而不是极限。
在数列极限的ε-n定义中,正整数n是ε的函式. 这句话为什么错？
热心网友的回答：
当然是错误的。
在极限定义中，n是由ε来确定，但是并不是唯一的。
例如，如果取正数ε后，找到一个正整数n，满足定义要求，那么n+1，n+2，n+10等等这些正整数，也都是满足要求的。所以n并不是ε的函式。
p37定理高数中关于函式极限的保号性证明的问题。 如图为什么让ε=a/2,ε在定义中不是说过10
热心网友的回答：
要明白，这里不是为了验证这个函式有没有极限，在这里，已经实事先设定函式是有极限的。现在是在有极限的情况下，证明区域性保号。所谓区域性保号，是说如果极限点的极限不是0的话，说在极限点附近的某个小区域（区域性）内，符号和极限点的极限符号相同。
所以我们只要找到这样一个区域性，就证明了这个定理了。至于除了这个区域性，还有没有其他的区域性也符合要求，无所谓了，反正找到一个就行了。
而既然ε是任意的，那么我们完全可以人为的取一个ε=a/2来找寻这个区域性。
当然ε=a/3，ε=a/4，ε=a/5等等，都能证明。但是只要在这些中间随便选一个就行了，不用一一都带入。
你觉得取ε=a/2不爽，想取ε=a/3，ε=a/4等等，随便啊，可以取那些值，反正大于a/2的ε就不行了，无法保证这样的区域性都是保号的了。
再看见他的回答：
ε是可以任取的，你想取ε/3也可以。
这里讨论的是存在性问题，又不是普遍性问题。是存在一个小区间使得f(x)>a/2，但是每个区间都大于a/2。而且这个区间的範围还是跟ε的取值有关的，你的ε变了，这个区间的範围也变了。
热心网友的回答：
是可以任取的。并且在高等数学中，∑是任意小的一个数，因为a是不确定的，但是可以存在一个a等于∑，那么a/2就是比任意小还小的一个数。你的问题中，a/3是不是比a/2还小呢？
那f(x)肯定可以大于a/3.但是在某些时候取a/2是为了计算方便。(那个符号实在找不到，用了连加符号?)
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可以取大于零的任何正数都行 你是大学了吧！那个可以取大于零的任何正数都行 任意正数，你给了3.1415926比方说。就是任意正数。关于数列极限定义中的任意给定的正数 的取值範围。楼上的人乱讲，这个数是一个精度，表示足够小的数，例如1,100,1000明显是很大的数，不可以取！是一个足够小的数，小极了...
你每次把分子的sinx用x替换的时候都是错的，都捨去会对结果产生影响的x 3的项，sinx x x 3 6 o x 3 请注意，所有的等量代换的原理都是极限的乘法法则，求a b的极限用c替换b就必须保证c b的极限是1。加法中的某一项不能随便用等价无穷小去代换，因为换完并不能保证加法最终的结果是原来...
